Analysis I, II und III

für die Studiengänge Mathematik, Physik, Informatik

0 Grundlagen
0.1 Logik
0.2 Axiomensysteme
0.3 Mengenlehre
1 Zahlen, Konvergenz, Reihen
1.1 Die reellen Zahlen
Reelle Zahlen und angeordnete Körper
Vollständige Induktion
Supremum und Maximum
Absolutbetrag
1.2 Elementare Kombinatorik
Abzählbare und überabzählbare Mengen
Cantorsches Diagonalverfahren
Fakultät und Binomialkoeffizient
1.3 Komplexe Zahlen
Betrag und Rechenregeln
Binomischer Lehrsatz
1.4 Grenzwerte von Funktionen und Folgen
Häufungspunkt
Grenzwert einer Funktion
Konvergenz bei Folgen
Konvergenzlemma
Monotone Funktionen und Folgen
Teilfolgen
Bolzano-Weierstraß
Cauchyfolgen
Charakterisierung der Vollständigkeit
1.5 Unendliche Reihen
Harmonische Reihe
Geometrische Reihe
Absolute Konvergenz
Leibnizsche Regel
Konvergenzkriterien
Umordnungssatz
Komplexe Exponentialfunktion
Natürliche Exponentialfunktion
Trigometrische Funktionen
2 Funktionen einer reellen Veränderlichen
2.1 Stetige Funktionen
Allgemeine Regeln
Zwischenwertsatz
Injektive und streng monotone Funktionen
Umkehrfunktionen
Maximumssatz für stetige Funktionen
Logarithmusfunktionen
Hypergeometrische Funktionen
Gleichmäßige Stetigkeit
Landausche Symbole
2.2 Differenzierbare Funktionen
Differentiationsregeln
Charakterisierung der Exponentialfunktion
Lokale Extrema
Mittelwertsätze
Ableitung und Monotonie
Ableitungen spezieller Funktionen
Die Regeln von de l' Hospital
2.3 Mehrfache Differentiation
Lokale Extrema: hinreichende Kriterien
Der Satz von Taylor
Fehlerabschätzungen
Konvexe und konkave Funktionen
Wendepunkte
2.4 Integration stetiger Funktionen
Definition des Integrals steigender Funktionen
Treppenfunktionen
Unterintegral und Oberintegral
Eigenschaften des Integrals
Stammfunktionen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Partielle Integration und Substitutionsregel
Partialbruchzerlegung
Spezielle Substitionen
2.5 Uneigentliche Integrale
Majorantenkriterium
Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale und Reihen
Uneigentliche Integrale
2.6 Funktionenfolgen
Supremumsnorm
Gleichmäßige Konvergenz
Gleichmäßige Konvergenz und Integration
Gleichmäßige Konvergenz und Differenzierbarkeit
2.7 Potenzreihen
Konvergenzradius
Differentiation und Integration von Potenzreihen
Produkt von Potenzreihen
3 Anwendungen und Erweiterungen
3.1 Vektorwertige Funktionen einer Veränderlichen
Euklidische Norm
Stetigkeit vektorwertiger Funktionen
Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen
Mittelwertsatz vektorwertiger Funktionen
Integration vektorwertiger Funktionen
Bogenlänge einer Kurve
3.2 Periodische Funktionen
Fourier-Reihen
Fourier-Analyse
4 Metrische Räume und Differentialgleichungen
4.1 Stetige Funktionen auf metrischen Räumen
Definition der Metrik
Normierte Vektorräume
Konvergenz
Stetigkeit in metrischen Räumen
Offene und abgeschlossene Mengen
Charakterisierung der Stetigkeit
4.2 Vollständige und kompakte metrische Räume
Vollständigkeit
Banachscher Fixpunktsatz
Kompaktheit
Der Satz von Heine Borel
4.3 Existensätze für Differentialgleichungen
Der Satz von Picard-Lindelöf
4.4 Elementare Differentialgleichungen
Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
Varianten der Konstanten
4.5 Differentialgleichungssysteme
Varianten der Konstanten
Eigenwertlösungen
Darstellung als System
5 Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
5.1 Differenzierbare Funktionen
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitungen und Stetigkeit
Totale Ableitungen
Gradient
Mittelwertsatz
Fehlerabschätzung
Lokale Extrema, notwendige Bedingungen
5.2 Mehrfache Differentiation
Mehrfache Ableitungen und Multilinearformen
Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Differentiation
Hesse Matrix
Satz von Taylor
Lokale Extrema, hinreichende Bedingungen
Positiv und negativ definite Matrizen
5.3 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen
Matrixnorm
Ableitung von Umkehrfunktionen
Satz über lokale Umkehrfunktionen
Satz über implizite Funktionen
Lokale Auflösbarkeit
5.4 Extremwerte mit Nebenbedingungen
Lagrangebedingungen
Hinreichende Bedingungen
5.5 Kurvenintegrale
Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation
Kurvenintegral
Stammfunktion
Exakte Differentialgleichungen
6 Maß- und Integrationstheorie
6.1 Messräume und Maße
Algebra, -Algebra
Erweiterung zu einem Maß
Lebesgue-Maß
6.2 Integrierbare Funktionen
Treppenfunktionen
Messbare Funktionen
Integrierbarkeit
6.3 Grenzwertsätze
Satz von Levi
Lemma von Fatou
Satz über majorisierte Konvergenz von Lebesgue
Leibniz'sche Regel
6.4 Produktmaße
Produkt-Algebren
Maße auf Produkträumen
Integration im
6.5 Bildmaße und Transformationssatz
Bildmaße
Transformationssatz
Koordinatentransformationen und weitere Anwendungen
6.6 Die Lp-Räume
7 Vektoranalysis und Integralsätze
7.1 Differentation und Integration von Vektorfeldern
7.2 Physikalische Deutung und Anwendungen
7.3 Integralsätze in der Ebene; physikalische Beispiele
7.4 Mannigfaltigkeiten und Integration auf Mannigfaltigkeiten
7.5 Integralsatz von Gauß
7.6 Satz von Stokes
7.7 Greensche Formel
7.7 Physikalische Anwendungen